Question

【題目】操作：在中，，，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊的中點處，將三角板繞點旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線、于、兩點．圖，，是旋轉三角板得到的圖形中的種情況．

研究：

三角板繞點旋轉，觀察線段和之間有什么數量關系，并結合圖加以證明；

三角板繞點旋轉，是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出為等腰三角形時的長）；若不能，請說明理由；

若將三角板的直角頂點放在斜邊上的處，且，和前面一樣操作，試問線段和之間有什么數量關系？并結合圖加以證明．

Answer 1

【答案】證明見解析；（2）共有四種情況：①當點與點重合，即時，；②，此時；

③當時，此時；④當在的延長線上，且時，此時；．

【解析】

試題（1）連接PC，通過證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；

（2）分為點C與點E重合、CE=、CE=1、E在CB的延長線上四種情況進行說明；

（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，構造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用對應邊成比例，就可以求出MD和ME之間的數量關系．

（1）連接PC，

因為△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE；

（2）△PBE是等腰三角形，

①當PE=PB時，此時點C與點E重合，CE=0；

②當BP=BE時，E在線段BC上，CE=；E在CB的延長線上，CE=；

③當EP=EB時，CE=1；

（3）過點M作MF⊥AC，MH⊥BC

∵∠C=90°，

∴四邊形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．

∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，

∴∠DMF=∠EMH，

∵∠MFD=∠MHE=90°，

∴△MFD∽△MHE，