Question

【題目】如圖，點、、分別是等邊各邊上的點，且，．

（）求證：是等邊三角形．

（）若，求等邊的周長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）18

【解析】

（1）由等邊三角形的性質易得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，由已知易得BD=CE=AF，∠DEB=∠EFC，可得△BDE≌△CEF≌△AFD，由全等三角形的性質可得DE=FD=EF，證得結論；

（2）首先由∠DEC=150°，易得∠FEC=90°，可得△ADF、△BED、△CFE均為直角三角形，可得∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，由直角三角形的性質可得CF=AD=BE=2BD=4，可得AB，易得結果．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，

∵BD=CE，

∴BD=CE=AF，

在△BDE與△CEF中，

，

∴△BDE≌△CEF（SAS），

∴DE=EF，

同理可得△BDE≌△AFD，

∴DE=FD，

∴DE=FD=EF，

∴△DEF為等邊三角形；

（2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，

∴∠FEC=90°，

∴△ADF、△BED、△CFE均為直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，

∵BD=CE=2，

∴CF=AD=BE=2BD=4，

∴AB=BC=AC=6，

∴等邊△ABC的周長為：6×3=18