Question

隨著科學技術的發展，機器人早已能按照設計的指令完成下列動作：先原地順時針旋轉角度α，再朝其對面方向沿直線行走．在坐標平面上，根據指令[s，α]（s≥0，0°＜α＜180°）機器人行走的距離為s．
（1）填空：如圖，若機器人在直角坐標系的原點，且面對y軸的正方向，現要使其移動到點A（2，2），則給機器人發出的指令應是

 

．
（2）機器人在完成上述指令后，發現在P（6+2

3

，0）處有一小球正向坐標原點做勻速直線運動，已知小球滾動的速度與機器人行走的速度相同，若忽略機器人原地旋轉的時間，請你給機器人發一個指令，使它能最快截住小球．（如圖，點C為機器人最快截住小球的位置，要求寫出計算過程）

Answer 1

分析：（1）本題中，要想使機器人運動到A，那么從原點開始，就要先順時針轉45°，即OAD的方向．然后行駛的路程可根據A點的坐標得出為2

2

，因此指令應該是[2

2

，45°]．
（2）本題實際求的是∠OAC的度數以及AC的長，根據題意可知道AC=PC，PB=4+2

3

，AB=2，那么我們可用PC（即AC）表示出BC，然后在直角三角形ABC中求出AC的長，也就能求出∠BAC和∠OAC的度數了．

解答：解：（1）[2

2

，45°]；

（2）由題意知：AC=PC，PB=6+2

3

-2=4+2

3

，
∴BC=PB-PC=PB-AC=4+2

3

-AC，
在直角三角形ABC中，BC=4+2

3

-AC，AB=2，根據勾股定理有：
（4+2

3

-AC）²+4=AC²
解得AC=4，BC=4+2

3

-AC=2

3

，cos∠ACB=

BC

AC

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠ACB=30°，∠DAC=45°+30°=75°，
因此給機器人的指令應該是[4，75°]．

點評：本題主要考查了解直角三角形在實際中的應用，弄清指令中各數的含義是解題的關鍵．