Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，t）（t＞0），二次函數(shù)（b＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）當(dāng)t=12時(shí)，頂點(diǎn)D到x軸的距離等于 ；

（2）點(diǎn)E是二次函數(shù)（b＜0）的圖象與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合），求OEEA的最大值及取得最大值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式；

（3）矩形OABC的對角線OB、AC交于點(diǎn)F，直線l平行于x軸，交二次函數(shù)（b＜0）的圖象于點(diǎn)M、N，連接DM、DN，當(dāng)△DMN≌△FOC時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）OEAE的最大值為4，拋物線的表達(dá)式為；（3）．

【解析】試題分析：（1）當(dāng)t=12時(shí)，B（4，12），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b的值，于是可得到拋物線的解析式，最后利用配方法可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)D到x軸的距離；

（2）令y=0得到x2+bx=0，從而可求得方程的解為x=0或x=﹣b，然后列出OEAE關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得b的OEAE的最大值，以及此時(shí)b的值，于是可得到拋物線的解析式；

（3）過D作DG⊥MN，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥CO，垂足為H．依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由點(diǎn)D的坐標(biāo)可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得t的值．

試題解析：解：（1）當(dāng)t=12時(shí)，B（4，12）．

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，∴拋物線的解析式，∴，∴D（， ），∴頂點(diǎn)D與x軸的距離為．故答案為： ．

（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，∵OA=4，∴AE=4﹣（﹣b）=4+b，∴OEAE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，∴OEAE的最大值為4，此時(shí)b的值為﹣2，∴拋物線的表達(dá)式為．

（3）過D作DG⊥MN，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥CO，垂足為H．

∵△DMN≌△FOC，∴MN=CO=t，DG=FH=2．∵D（﹣，﹣），∴N（﹣，﹣ +2），即（， ）．把點(diǎn)N和坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： =（）2+b（），解得：t=±．∵t＞0，∴t=．