Question

【題目】如圖，圓是銳角的外接圓，是弧的中點，交于點，的平分線交于點，過點的切線交的延長線于點，連接，則有下列結論：①點是的重心；②；③；④，其中正確結論的序號是__________．

Answer 1

【答案】②④

【解析】

根據三角形重心的定義，即可判斷①；連接OD，根據垂徑定理和切線的性質定理，即可判斷②；由∠ACD=∠BAD，∠CAF=∠BAF，得∠AFD=∠FAD，若，可得∠EAF=∠ADF=∠BAC，進而得，即可判斷③；易證ACD~EAD，從而得，結合DF=DA，即可判斷④．

∵是弧的中點，

∴∠ACD=∠BCD，即：CD是∠ACB的平分線，

又∵AF是的平分線，

∴點F不是的重心，

∴①不符合題意，

連接OD，

∵是弧的中點，

∴OD⊥AB，

∵PD與圓相切，

∴OD⊥PD，

∴，

∴②符合題意，

∵是弧的中點，

∴∠ACD=∠BAD，

∵AF是的平分線，

∴∠CAF=∠BAF，

∴∠CAF+∠ACD =∠BAF+∠BAD，即：∠AFD=∠FAD，

若，則∠AFD=∠AEF，

∴∠AFD=∠AEF=∠FAD，

∴∠EAF=∠ADF=∠BAC，

∴．

即：只有當時，才有．

∴③不符合題意，

∵∠ACD=∠BAD，∠D=∠D，

∴ACD~EAD，

∴，

又∵∠AFD=∠FAD，

∴DF=DA，

∴，

∴④符合題意．

故答案是：②④．