Question

【題目】定義：有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，E，F分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．

（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F在格點上．

（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點M，連結DM并延長交AB于點Q，延長EF交AC于點N．若N為AC的中點，DE=2BE，QB=6，求鄰余線AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）20.

【解析】

（1）AB=AC，AD是△ABC的角平分線，又AD⊥BC，則∠ADB=90°，則∠FAB與∠EBA互余，即可求解；

（2）如圖所示（答案不唯一），四邊形ABEF即為所求；

（3）證明△DBQ∽△ECN，即可求解.

（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，

∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠FAB與∠EBA互余，

∴四邊形ABEF是鄰余四邊形；

（2）如圖所示（答案不唯一），

四邊形ABEF即為所求；

（3）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，

∴BD=CD，

∵DE=2BE，

∴BD=CD=3BE，

∴CE=CD+DE=5BE，

∵∠EDF=90°，M為EF中點，

∴DM=ME．

∴∠MDE=∠MED，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴△DBQ∽△ECN，∴，

∵QB=6，

∴NC=10，

∵AN=CN，

∴AC=2CN=20，

∴AB=AC=20．