Question

【題目】如圖，在中，和的角平分線相交于點，過點作交于，交于，過點作于.下列五個結論：其中正確的有（ ）

（1）；（2）；（3）點到各邊的距離都相等；（4）設，若，則；（5）.（ ）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據角平分線的定義與三角形內角和定理，即可求得②∠BOC=90°+∠A正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得③設OD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn，故③錯誤；E、F不可能是三角形ABC的中點，則EF不能為中位線故④正確．

解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故（2）正確；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故（1）正確；
過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AEOM+AFOD=OD（AE+AF）=mn；故（3）正確，故（4）錯誤；
∵S△EOB=BEOM，S△OCF=FCOD，
∵OM=OD，BE不一定等于CF，
∴S△EOB不一定等于SFOC．故（5）錯誤，
故選：B．