Question

【題目】如圖，AB是⊙Ｏ的直徑，點P是AB下方的半圓上不與點A，B重合的一個動點，點C為AP的中點，連接CO并延長，交⊙Ｏ于點D，連接AD，過點D作⊙Ｏ的切線，交PB的延長線于點E，連接CE．

（1）求證：△DAC≌△ECP；

（2）填空：

①當∠DAP=______°時，四邊形DEPC為正方形；

②在點 P的運動過程中，若⊙Ｏ的直徑為10，tan∠DCE=，則AD=______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①45，②．

【解析】

（1）先由切線的性質得到∠CDE＝90°，再利用垂徑定理的推理得到DC⊥AP，接著根據圓周角定理得到∠APB＝90°，于是可判斷四邊形DEPC為矩形，所以DC＝EP，然后根據“SAS”判斷△DAC≌△ECP；

（2）①利用四邊形DEPC為矩形得到DE＝PC＝AC，則根據正方形的判定方法得DC＝CP時，四邊形DEPC為正方形，則DC＝CP＝AC，于是得到此時△ACD為等腰直角三角形，所以∠DAP＝45°；

②先證明∠ADC＝∠DCE，再在Rt△ACD中利用正切得到tan∠ADC＝，則設AC＝x，DC＝2x，利用勾股定理得到AD＝x，然后在Rt△AOC中利用勾股定理得到x2＋（2x5）2＝52，再解方程求出x即可得到AD的長．

（1）證明：∵是的直徑，

∴.

∵點為的中點，點為的中點，

∴為的中位線，，

∴，

∴，即.

∵是圓的切線，

∴，

∴四邊形為矩形，

∴.

又∵，，

∴.

（2）解：①∵四邊形DEPC為矩形，

∵DE＝PC＝AC，

∵當DC＝CP時，四邊形DEPC為正方形，

此時DC＝CP＝AC，

∴△ACD為等腰直角三角形，

∴∠DAP＝45°；

②∵DE＝AC，DE∥AC，

∴四邊形ACED為平行四邊形，

∴AD∥CE，

∴∠ADC＝∠DCE，

在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝tan∠DCE＝，

設AC＝x，則DC＝2x，

∴AD＝，

在Rt△AOC中，AO＝5，OC＝CDOD＝2x5，

∴x2＋（2x5）2＝52，解得x1＝0（舍去），x2＝4，

∴AD＝．

故答案為①45；②．