Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于，對稱軸為直線，與軸的交點在和之間（不包括這兩個點），下列結論：①當時，；②；③當時，；④．其中正確的結論的序號是___________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0），利用函數圖象得到在x軸上方所對應的自變量的范圍，從而可對①進行判斷；利用x=-1，y=0，得到b=-2a，c=-3a，而2＜c＜3，所以2＜-3a＜3，則可利用不等式的性質可對②進行判斷；根據二次函數的性質得到二次函數的最大值為a+b+c，則a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1），于是可對③進行判斷；利用b=-2a，c=-3a可對④進行判斷．

解：∵拋物線與x軸交于A（-1，0），對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0），
∵拋物線開口向下，
∴當-1＜x＜3，y＞0，所以①正確；
∵拋物線與x軸交于A（-1，0），對稱軸為直線x=1，
∴a-b+c=0，，
∴b=-2a，c=-3a，
∵拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），
而拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間（不包括這兩個點），
∴2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴二次函數的最大值為a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③正確；
∵b=-2a，c=-3a，
∴b2-4ac=9a2-4a（-3a）=21a2，所以④錯誤．
故答案為：①②③．