Question

如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，過A作AD⊥x軸于D，若OA=

5

，AD=

1

2

OD，點B的橫坐標為

1

2

（1）求A點的坐標及反比例函數的解析式；
（2）求一次函數的解析式及△AOB的面積；
（3）在反比例函數的圖象上是否存在點P使△OAP為等腰三角形？若存在，請寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AD=

1

2

OD，設AD=x，則OD=2x，又OA的長，在直角三角形AOD中，根據勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，確定出AD與DC的長，進而得到A的坐標，設出反比例解析式，把A的坐標代入即可確定出解析式；
（2）把B的橫坐標代入（1）中求出的反比例解析式，求出B的縱坐標，確定出B的坐標，設出一次函數的解析式，把A和B的坐標代入即可確定出解析式，然后令解析式中y=0求出x的值，進而得到OC的長，而OC把三角形AOB分為兩個三角形，底邊都為OC，高為A和B的縱坐標，根據三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）存在，因為反比例函數圖象關于y=-x對稱，所以找出A關于y=-x的對稱點的坐標即為滿足題意的點P₁的坐標；同理分別找出A和P₁關于原點的對稱點即為P₂，P₃的坐標．

解答：解：（1）設AD=x，則OD=2x，又OA=

5

，
在Rt△AOD中，根據勾股定理得：AD²+OD²=AO²，
即x²+（2x）²=（

5

）²，
化簡得：5x²=5，解得x=1或x=-1（舍去），
所以AD=1，OD=2，
則A的坐標為（-2，1），
設反比例解析式為y=

k

x

（k≠0），
把A的坐標代入反比例解析式得：k=-2，
則反比例函數的解析式為y=-

2

x

；

（2）把B的橫坐標x=

1

2

代入反比例解析式y=-

2

x

得：y=-4，
所以B的坐標為（

1

2

，-4），又A（-2，1），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
將A和B的坐標代入解析式得：

1 2 k+b=-4 -2k+b=1

，
解得：

k=-2 b=-3

，
則直線AB的解析式為：y=-2x-3，
令y=0，解得x=-

3

2

，則C（-

3

2

，0），故OC=

3

2

，
則S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

OC•|y_{A的縱坐標}|+

1

2

OC•|y_{B的縱坐標}|
=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×|-4|=

15

4

；

（3）存在．
∵A（-2，1），且反比例函數圖象關于y=-x對稱，
∴當P與A關于y=-x對稱時，△OAP為等腰三角形，此時P₁（-1，2）；
當P與P₁關于原點對稱時，△OAP為等腰三角形，此時P₂（1，-2）；
當P與P₂關于y=-x對稱時，P₃（2，-1），O、A、P三點共線，△OAP不能為等腰三角形．

點評：此題考查了勾股定理，待定系數法求反比例解析式及一次函數解析式，以及點關于y=-x及關于原點對稱點的求法，要求學生掌握反比例函數的圖象與性質，在（2）求三角形面積時注意把三角形分為兩個同底的三角形，結合點A和B的縱坐標，利用三角形的面積公式作出解答；第（3）問題注意把所求問題轉化為求對稱點的問題，找對稱點的方法為：（a，b）關于y=-x的對稱點坐標為（-b，-a），關于原點對稱點的坐標為（-a，-b），進而利用對稱的思想解決問題，同時注意把滿足題意的點找全．