Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AC為直徑作⊙O交AB、BC于E、D，D恰為BC的中點，過C作⊙O的切線，與AB的延長線交于F，過B作BM⊥AF，交CF于M．

（1）求證：MB＝MC；

（2）若MF＝5，MB＝3，求⊙O的半徑及弦AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EA＝

【解析】

（1）連接AD，根據垂直平分線的判定和切線的性質證明即可；

（2）根據相似三角形的判定和性質解答即可．

（1）證明：連接AD，∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∠ADB＝90°，又D是BC的中點，

∴AD是線段BC的垂直平分線，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，

∵BM⊥AF，CF是⊙O的切線，

∴∠ABM＝∠ACM＝90°，

∴∠MBC＝∠MCB，MB＝MC；

（2）∵MF＝5，MB＝3，

∴FB＝4，由上知MC＝3，FC＝8，

∵∠MBF＝∠ACF＝90°，∠BFM＝∠CFA，

∴△FBM∽△FCA，

∴，

即，

解得：CA＝6，⊙O的半徑OA＝3，

連結CE，則∠AEC＝90°，由上知，∠F＝∠ACE，則△EAC∽△BMF，

∴

解得：EA＝