Question

19、如圖：正方形ABCD，M是線段BC上一點，且不與B、C重合，AE⊥DM于E，CF⊥DM于F．求證：AE²+CF²=AD²．

Answer 1

分析：先根據“AAS”判斷出△AED≌△DFC，求出CF=DE，再在直角三角形ADE中用勾股定理證明即可．

解答：證明：在正方形ABCD中，
AD=DC，∠ADE+∠CDF=90°，（1分）
AE⊥DM，FC⊥DM，
∠AED=∠ADE=90°，（2分）
∠EAD+∠ADE=90°，（3分）
∠EAD=∠FDC，
△AED≌△DFC，（4分）
CF=DE，（5分）
在△RtADE中，
AE²+DE²=AD²，
AE²+CF²=AD²．（6分）

點評：此題巧妙的將勾股定理和正方形的性質結合，有一定的綜合性．解題的關鍵是利用全等三角形的性質找到相等的線段，再用勾股定理建立起三邊聯系即可．