Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+4x+c與x軸交于A、B兩點，交y軸交于點C，直線y=-x+5經過點B、C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點D（1，0），點P為對稱軸上一動點，連接BP、CP．

①若∠CPB=90°，求點P的坐標；

②點Q為拋物線上一動點，若以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2）①點P的坐標為（2，-1）或（2，6）②點P的坐標為（2，3），（2，5）或（2，13）．

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點B，C的坐標，由點B，C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）①利用二次函數的性質可求出拋物線對稱軸為直線x=2，設點P的坐標為（2，m），結合點B，C的坐標可得出BC2，CP2，BP2的值，由∠CPB=90°利用勾股定理可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出點P的坐標；

②設點P的坐標為（2，n），分CD為邊及CD為對角線兩種情況考慮：（i）若CD為邊，當四邊形CDPQ（CDQP）為平行四邊形時，由點C，D，P的坐標結合平行四邊形的對角線互相平分可得出點Q的坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出n的值，進而可得出點P的坐標；（ii）若CD為對角線，四邊形CPDQ為平行四邊形，由點C，D，P的坐標結合平行四邊形的對角線互相平分可得出點Q的坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出n的值，進而可得出點P的坐標．綜上，此題得解．

解：（1）當x=0時，y=-x+5=5，

∴點C的坐標為（0，5）；

當y=0時，-x+5=0，

解得：x=5，

∴點B的坐標為（5，0）．

將B（5，0），C（0，5）代入y=ax2+4x+c，得：

，解得：，

∴拋物線的表達式為y=-x2+4x+5．

（2）①∵拋物線的表達式為y=-x2+4x+5，

∴拋物線的對稱軸為直線x=-=2，

∴設點P的坐標為（2，m）．

∵點B的坐標為（5，0），點C的坐標為（0，5），

∴CP2=（2-0）2+（m-5）2=m2-10m+29，BP2=（2-5）2+（m-0）2=m2+9，BC2=（0-5）2+（5-0）2=50．

∵∠CPB=90°，

∴BC2=CP2+BP2，即50=m2-10m+29+m2+9，

解得：m1=-1，m2=6，

∴點P的坐標為（2，-1）或（2，6）．

②設點P的坐標為（2，n），分兩種情況考慮（如圖2）：

（i）若CD為邊，當四邊形CDPQ為平行四邊形時，

∵點C的坐標為（0，5），點D的坐標為（1，0），點P的坐標為（2，n），

∴點Q的坐標為（0+2-1，5+n-0），即（1，5+n）．

∵點Q在拋物線y=-x2+4x+5上，

∴5+n=-1+4+5，解得：n=3，

∴點P的坐標為（2，3）；

當四邊形CDQP為平行四邊形時，

∵點C的坐標為（0，5），點D的坐標為（1，0），點P的坐標為（2，n），

∴點Q的坐標為（1+2-0，0+n-5），即（3，n-5）．

∵點Q在拋物線y=-x2+4x+5上，

∴n-5=-9+12+5，解得：n=13，

∴點P的坐標為（2，13）；

（ii）若CD為對角線，∵四邊形CPDQ為平行四邊形，點C的坐標為（0，5），點D的坐標為（1，0），點P的坐標為（2，n），

∴點Q的坐標為（0+1-2，5+0-n），即（-1，5-n）．

∵點Q在拋物線y=-x2+4x+5上，

∴5-n=-1-4+5，解得：n=5，

∴點P的坐標為（2，5）．

綜上所述：點P的坐標為（2，3），（2，5）或（2，13）．