Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點，拋物線經過、兩點，與軸的另一個交點為，連接．

（1）求拋物線的解析式及點的坐標；

（2）點 在拋物線上，連接 ，當 時，求點的坐標；

（3）點從點出發，沿線段由向運動，同時點從點出發，沿線段由向運動， 、的運動速度都是每秒個單位長度，當點到達點時，、同時停止運動，試問在坐標平面內是否存在點，使、運動過程中的某一時刻，以、、、為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2），或（3）或或

【解析】

（1）首先求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式，進而求出點C的坐標；
（2）滿足條件的點M有兩種情形，需要分類討論：
①當BM⊥BC時，如答圖2-1所示；
②當BM與BC關于y軸對稱時，如答圖2-2所示．
（3）△CPQ的三邊均可能成為菱形的對角線，以此為基礎進行分類討論：
①若以CQ為菱形對角線，如答圖3-1．此時BQ=t，菱形邊長=t；
②若以PQ為菱形對角線，如答圖3-2．此時BQ=t，菱形邊長=t；
③若以CP為菱形對角線，如答圖3-3．此時BQ=t，菱形邊長=5-t．

解：直線解析式，

令，得；

令，得．

∴、．

∵點、在拋物線上，

∴，

解得，

∴拋物線解析式為：．

令，

解得：或，

∴．，

設，

①當時，如答圖所示．

∵，

∴，故點滿足條件．

過點作軸于點，則，，

∴．

∵，

∴，

∴直線的解析式為：．

聯立與，

得：，

解得：，，

∴，，

∴；

②當與關于軸對稱時，如答圖所示．

∵，，

∴，

故點滿足條件．

過點作軸于點，

則，，

∴．

∵，

∴，

∴直線的解析式為：．

聯立與得：，

解得：，，

∴，，

∴．

綜上所述，滿足條件的點的坐標為：或．

設，則，，．

假設存在滿足條件的點，設菱形的對角線交于點，設運動時間為．

①若以為菱形對角線，如答圖．此時，菱形邊長．

∴．

在中，，

解得．

∴．

過點作軸于點，

則，，

∴．

∴．

∵點與點橫坐標相差個單位，

∴；

②若以為菱形對角線，如答圖．此時，菱形邊長．

∵，

∴，點為中點，

∴．

∵點與點橫坐標相差個單位，

∴；

③若以為菱形對角線，如答圖．此時，菱形邊長．

在中，，

解得．

∴，．

∴．

綜上所述，存在滿足條件的點，點坐標為：或或．