Question

如圖，在矩形ABCD中，連接AC，如果O為△ABC的內心，過O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、不能確定

Answer 1

分析：設⊙O交AB于H，交BC于M，交AC于N，那么OM⊥BC，OH⊥AB，ON⊥AC，容易得到四邊形AEOH，四邊形OMCF均為矩形，四邊形BMOH為正方形，設⊙O的半徑為r，那么AE=CF=ON=r，即可利用已知條件證明△AEG≌△ONG和△ONI≌△CFI，由此得到S_△ONG=S_△AEG，S_△ONI=S_△CFI，然后即可得出S_□OEDF=

1

2

S_?ABCD．

解答：解：如圖，設⊙O交AB于H，交BC于M，交AC于N，
那么OM⊥BC，OH⊥AB，ON⊥AC，
∴四邊形AEOH，四邊形OMCF均為矩形，四邊形BMOH為正方形．
設⊙O的半徑為r，那么AE=CF=ON=r，
在△AEG和△OGN中，∠AEG=∠ONG=90°，∠AGE=∠OGN，AE=ON=r，
∴△AEG≌△ONG，
同理△ONI≌△CFI，
∴S_△ONG=S_△AEG，S_△ONI=S_△CFI，
S_□OEDF=S_{多邊形EGIFD}+S_△OGI=S_{多邊形EGIFD}+S_△ONG+S_△ONI，
而S_{多邊形EGIFD}+S_△AEG+S_△IFC=S_△ADC=

1

2

S_?ABCD．
∴S_□OEDF=

1

2

S_?ABCD．
故選A．

點評：本題綜合考查了三角形內切圓，全等三角形的判定及應用以及矩形的性質等知識點．將所求的圖形進行適當轉換便能使問題變的簡單．