Question

【題目】如圖①，定義：在四邊形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB＋∠BCA＝180°，則把四邊形ABCD叫作互補等對邊四邊形．如圖②，在等腰△ABE中，AE＝BE，四邊形ABCD是互補等對邊四邊形．試說明：∠ABD＝∠BAC＝∠E.

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

已知AE＝BE，根據等腰三角形的性質可得∠EAB＝∠EBA.根據互補等對邊四邊形的定義可得AD＝BC.利用SAS證明△ABD≌△BAC，根據全等三角形的性質可得∠ABD＝∠BAC，∠ADB＝∠BCA；根據互補等對邊四邊形的定義可得∠ADB＋∠BCA＝180°，即可求得∠ADB＝∠BCA＝90°.在等腰△ABE中，根據等腰三角形的性質及三角形的內角和定理可得∠EAB＝∠EBA＝ (180°－∠E)＝90°－∠E，所以∠ABD＝90°－∠EAB＝90°－＝∠E，由此即可證得結論.

∵AE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA.

∵四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，

∴AD＝BC.

在△ABD與△BAC中，,

∴△ABD≌△BAC，

∴∠ABD＝∠BAC，∠ADB＝∠BCA.

∵∠ADB＋∠BCA＝180°，

∴∠ADB＝∠BCA＝90°.

在等腰△ABE中，∵∠EAB＝∠EBA＝ (180°－∠E)＝90°－∠E，

∴∠ABD＝90°－∠EAB＝90°－＝∠E，

∴∠ABD＝∠BAC＝∠E.