Question

【題目】如圖，直線y＝kx+2與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B．

（1）求k的值和拋物線的解析式．

（2）M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N，連接BN．

①若△BPN是直角三角形，求點N的坐標．

②當∠PBN＝45°時，請直接寫出m的值．（注：當k1k2＝﹣1時，直線y＝k1x+b1與直線y＝k2x+b2垂直）

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣， y＝﹣x2+x+2；（2）①點N（，）；②m＝或m＝

【解析】

（1）把點坐標代入直線解析式可求得，則可求得點坐標，由、的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）①分和兩種情況討論，即可求解；

②有兩解，點在的上方或下方，作輔助線，構建等腰直角三角形，由 得，設，則由，得，，根據，可得和的解析式，分別與拋物線聯立方程組，可得結論．

解：（1）把代入中得，，

，

直線的解析式為：，

，

把和代入拋物線中，

則，

解得：，

二次函數的表達式為：；

（2）①當時，且，

，

，

點的縱坐標為2，

，

（舍去），，

點坐標，；

當時，

直線的解析式為：，

，

（舍去），，

點N（，）；

②有兩解，點在的上方或下方，

如圖2，過點作的垂線交軸于點，

過點作的垂線，垂足為點．

由 得，

，

設，則由，

，

得，，

由，解得，

，

從而，

即，，

由，，得：

直線，直線．

則，

解得：（舍），，

即；

則，

解得：（舍，；

即；

故與.