Question

如圖，已知平面直角坐標系中三個點A（-8，0）、B（2，0）、C，O為坐標原點．以AB為直徑的⊙M與y軸的負半軸交于點D．
（1）求直線CD的解析式；
（2）求證：直線CD是⊙M的切線；
（3）過點A作AE⊥CD，垂足為E，且AE與⊙M相交于點F，求一個一元二次方程，使它的兩個根分別是AE和AF．

Answer 1

（1）解：∵A（-8，0），B（2，0），
∴⊙M的圓心為（-3，0），且⊙M的半徑為5．
連接MD．
在Rt△OMD中，
OD==4，
∴D（0，-4）．
設所求直線CD的解析式為y=kx+b，則由C（，0）、D（0，-4）兩點，
得，
解得．
故所求直線CD的解析式為y=x-4．

（2）證明：在Rt△CDO中，CD²=OD²+OC²=4²+（）²=．
在△CDM中，MC=3+，DM=5，
∴DM²+CD²=25+．
又，
∴MD²+CD²=MC²．
∴△CDM是直角三角形，且
∠MDC=90°，CD經過半徑MD的外端點D，
∴直線CD是⊙M的切線．

（3）解：由已知，AE⊥CD，由（2），MD⊥CD，
∴MD∥AE，
∴△CDM∽△CEA．
∴，即，解得AE=8．
連接BF．則∠AFB=90°．
又∠MDC=90°，∠CMD=∠CAE，
∴Rt△CDM∽Rt△BFA．
∴，即，解得AF=6．
故所求的一個一元二次方程是x²-14x+48=0．
分析：（1）已知A、B的坐標就可以求出直徑AB的長，弦心距MB的長，根據垂徑定理就可以求出BD的長，即得到D的坐標．根據待定系數法就可以求出CD的解析式．
（2）連接MD，根據M，C，D的坐標就可以得△CDM的三邊的長，根據勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形．
（3）易證△CDM∽△CEA，根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出AE，再證明Rt△CDM∽Rt△BFA，就可以得到AF，則所求的一元二次方程就可以得到．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，以及相似三角形的性質，相似三角形的對應邊的比相等．