Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；

（2）求證：AE=CP；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得,根據等邊對等角的性質可得,再根據等角的余角相等證明即可;

（2）過P點作PD⊥AB于點D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得,然后求出,利用"角角邊",根據全等三角形對應邊相等可得,從而得證.

證明：（1）∵是由旋轉得到，

∴，

∴，

∵∠C=90°，AP′⊥AB

∴，

又∵

∴

（2）如圖，過P點作PD⊥AB于點D，

∵

∴，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴

∴