Question

【題目】將繞點逆時針旋轉得到，的延長線與相交于點，連接、．

如圖，若，．

①求證：；②猜想線段、的數量關系，并證明你的猜想；

如圖，若，（為常數），求的值（用含、的式子表示）．

Answer 1

【答案】證明①見解析； ②猜想：，證明見解析； .

【解析】

（1）由旋轉性質證明△ABD為等邊三角形，則∠DAB=∠ABC=60°，所以DA∥BC；

（2）①如答圖1所示，作輔助線（在DF上截取DG=AF，連接BG），構造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF；進而證明△BGF為等邊三角形，則GF=BF=AF；從而DF=2AF；

②與①類似，作輔助線，構造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF，由此可知△BGF為頂角為α的等腰三角形，解直角三角形求出GF的長度，從而得到DF長度，問題得解．

證明：①由旋轉性質可知，，

∴為等邊三角形，

∴，

∴，

∴．

②猜想：．

證明：如答圖所示，在上截取，連接．

由旋轉性質可知，，．

∵在與中，

∴，

∴，．

∵，

∴，即，

又∵，

∴為等邊三角形，

∴，又，

∴．

∴．

解：如答圖所示，在上截取，連接．

由，同理可證明，，．

過點作于點，

∵，∴點為中點，．

在中，．

∴

∴，

∴．