【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P．
（1）求證：AP=BQ；
（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）①AQ﹣AP=PQ，②AQ﹣BQ=PQ，③DP﹣AP=PQ，④DP﹣BQ=PQ.
【解析】試題分析：（1）利用AAS證明△AQB≌△DPA，可得AP=BQ；（2）根據AQ﹣AP=PQ和全等三角形的對應邊相等可寫出4對線段.
試題解析：（1）在正方形中ABCD中，AD=BA，∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAP=90°，∵DP⊥AQ，∴∠ADP+∠DAP=90°，∴∠BAQ=∠ADP，∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P，∴∠AQB=∠DPA=90°，∴△AQB≌△DPA（AAS），
∴AP=BQ.（2）①AQ﹣AP=PQ，②AQ﹣BQ=PQ，③DP﹣AP=PQ，④DP﹣BQ=PQ.
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【題目】七（1）班的學習小組學習“線段中點”內容時，得到一個很有意思的結論，請跟隨他們一起思考.
（1）發現：
如圖1，線段
，點
在線段
上，當點
是線段
和線段
的中點時，線段
的長為_________；若點
在線段的延長線上，其他條件不變（請在圖2中按題目要求將圖補充完整），得到的線段與線段之間的數量關系為_________.
（2）應用：
如圖3，現有長為40米的拔河比賽專用繩，其左右兩端各有一段（和
）磨損了，磨損后的麻繩不再符合比賽要求. 已知磨損的麻繩總長度不足20米. 小明認為只利用麻繩和一把剪刀（剪刀只用于剪斷麻繩）就可以得到一條長20米的拔河比賽專用繩. 小明所在學習小組認為此法可行，于是他們應用“線段中點”的結論很快做出了符合要求的專用繩，請你嘗試著“復原”他們的做法：
①在圖中標出點
、點
的位置，并簡述畫圖方法；
②請說明①題中所標示點的理由.
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【題目】閱讀理解：已知Q、K、R為數軸上三點，若點K到點Q的距離是點K到點R的距離的2倍，我們就稱點K是有序點對[Q，R]的好點．
根據下列題意解答問題：
（1）如圖1，數軸上點Q表示的數為1，點P表示的數為0，點K表示的數為1，點R
表示的數為2．因為點K到點Q的距離是2，點K到點R的距離是1，所以點K是
有序點對
的好點，但點K不是有序點對
的好點．同理可以判斷：
點P__________有序點對的好點，點R______________有序點對
的好點（填“是”或“不是”）；
（2）如圖2，數軸上點M表示的數為-1，點N表示的數為5，若點X是有序點對
的好點，求點X所表示的數，并說明理由？
（3）如圖3，數軸上點A表示的數為20，點B表示的數為10．現有一只電子螞蟻C從
點B出發，以每秒2個單位的速度向左運動t秒．當點A、B、C中恰有一個點為其余兩有序點對的好點，求t的所有可能的值．
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【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（ ）
A. 當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形
B. 當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形
C. 當∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形
D. 當AC=BD時，四邊形ABCD是正方形
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【題目】如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）判斷BE與CF的數量關系，并說明理由；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的長．
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【題目】如圖①，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個△A1B1C1的頂點A1與點P重合，第二個△A2B2C2的頂點A2是B1C1與PQ的交點……最后一個△AnBnCn的頂點Bn，Cn在圓上.
(1)如圖②，當n＝1時，求正三角形的邊長a1.
(2)如圖③，當n＝2時，求正三角形的邊長a2.
(3)如圖①，求正三角形的邊長an(用含n的代數式表示).
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【題目】(1) 知識儲備
①如圖 1，已知點 P 為等邊△ABC 外接圓的弧BC 上任意一點．求證：PB+PC= PA.
②定義：在△ABC 所在平面上存在一點 P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點 P 為△ABC
的費馬點，此時 PA+PB+PC 的值為△ABC 的費馬距離．
(2)知識遷移
①我們有如下探尋△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的費馬點和費馬距離的方法：
如圖 2，在△ABC 的外部以 BC 為邊長作等邊△BCD 及其外接圓，根據(1)的結論，易知線段____的長度即為△ABC 的費馬距離.
②在圖 3 中，用不同于圖 2 的方法作出△ABC 的費馬點 P(要求尺規作圖).
(3)知識應用
①判斷題（正確的打√，錯誤的打×）：
ⅰ.任意三角形的費馬點有且只有一個（__________）；
ⅱ.任意三角形的費馬點一定在三角形的內部（__________）.
②已知正方形 ABCD，P 是正方形內部一點，且 PA+PB+PC 的最小值為
，求正方形 ABCD 的
邊長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD、BC的中點，E，F分別是線段BM，CM的中點．
（1）求證：BM＝CM；
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論；
（3）當矩形ABCD的長和寬滿足什么條件時，四邊形MENF是正方形？為什么？
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