Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與：交于點，分別與軸、軸交于點、．

（1）分別求出點、、的坐標；

（2）若是線段上的點，且的面積為12，求直線的函數表達式；

（3）在（2）的條件下，設是射線上的點．

①如圖2，過點作，且使四邊形為菱形，請直接寫出點的坐標；

②在平面內是否存在其它點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，3）．B（12，0）．C（0，6），（2）y＝x＋6．（3）①Q（3,-3）,②（3，3）,（6,6）.

【解析】

（1）構建方程組確定交點A的坐標，利用待定系數法確定B，C兩點坐標即可．

（2）設D（m，m），利用三角形的面積公式，構建方程求出m的值，再利用待定系數法即可解決問題．

（3）①構建OC＝PC，設P（m，m），利用兩點間距離公式，構建方程求出m即可．

②當OC為菱形的對角線時，OC垂直平分線段PQ，利用對稱性解決問題即可;當PC為對角線時,OQ⊥CP, 利用對稱性解決問題即可.

解：（1）由

解得

∴A（6，3）．

∵與分別與x軸、y軸交于點B、C，

∴C（0，6），B（12，0）．

（2）設D（m，m），由題意：OC＝6，△COD的面積為12，

∴×6×m＝12，

∴m＝4，

∴D（4，2），∵C（0，6），

設直線CD的解析式為y＝kx＋b，

則有

解得

∴直線CD的解析式為y＝x＋6．

（3）①∵四邊形OCPQ是菱形，

∴OC＝PC＝6，

設P（m，m＋6），

∴m2＋m2＝36，

∴m＝3或3，

∴P（3,-3+6），

∵PQ∥OC，PQ＝OC，

∴Q（3,-3）

②如圖，當OC為菱形的對角線時，OC垂直平分線段PQ，

易知P′（3，3），Q′（3，3），

∴滿足條件的點Q′的坐標為（3，3）．

（3，3）

如下圖,當PC為對角線時,OQ⊥CP,

易知△OCP是等腰直角三角形,

∴四邊形OCQP是正方形,此時Q的坐標為（6,6）．