Question

【題目】（1）如圖1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AP、BP分別平分∠CAB、∠CBA，過(guò)點(diǎn)P作DE∥AB交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：①點(diǎn)P是線段DE的中點(diǎn)；②求證：BP2=BE·BA；

（2）如圖2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，BP平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)P作DE∥AB交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P為線段DE的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）①由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)等角對(duì)等邊得到EB=PE，同理得到AD=DP．由平行線分線段成比例定理得到，進(jìn)而得到EP=DP，即可得出結(jié)論；

②先證，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理，得到AC的長(zhǎng)．由（1）得．設(shè)AD=x，則，設(shè)AD=x，則．有平行線分線段成比例定理可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到CE、DE的長(zhǎng)．在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）①證明：∵平分，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

同理．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴是的中點(diǎn)；

②由①得，

∵平分，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）由勾股定理，得：．

由（1）得．

設(shè)AD=x，則．

∵，

∴，

∴，

∴BE=，

∴EP=PD=BE=，，

∴DE=．

在Rt△CDE中，∵，

∴，解得：，或(不合題意，舍去)．故AD的長(zhǎng)為．