Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C.拋物線經過A，C兩點，且與x軸交于另一點B（點B在點A右側）．

（1）求拋物線的解析式及點B坐標；

（2）若點M是線段BC上的一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F，交拋物線于點E.求ME長的最大值；

（3）試探究當ME取最大值時，在拋物線上、x軸下方是否存在點P，使以M，F，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）由求出點A,C的坐標，然后帶入，解方程組即可；（2）求出直線BC的解析式是y＝x－3，根據點M在直線BC 上，設M（x，x－3），則E（x，x2－2x－3）

，表示出線段ME的長，用配方法可求出最大值；（3）設在拋物線x軸下方存在點P，使以P，M，F，B為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點P的坐標，然后判斷點P是不是在拋物線上即可.

試題解析：解：（1）當y＝0時，－3x－3＝0，x＝－1，∴A（－1, 0）．

當x＝0時，y＝－3，∴C（0，－3）．

∵拋物線過A，C兩點，

拋物線的解析式是y＝x2－2x－3.

當y＝0時， x2－2x－3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3.

∴ B（3, 0）．

（2）由（1）知 B（3, 0） , C（0，－3），

直線BC的解析式是y＝x－3.

設M（x，x－3）（0≤x≤3），則E（x，x2－2x－3）

∴ME＝（x－3）－（ x2－2x－3）＝－x2＋3x＝－2＋.

∴當x＝時，ME的最大值為.

（3）不存在．由（2）知 ME 取最大值時，

ME＝， ∴MF＝，BF＝OB－OF＝.

設在拋物線x軸下方存在點P，使以P，M，F，B為頂點的四邊形是平行四邊形，

則BP∥MF，BF∥PM.∴P1或 P2.

當P1時，由（1）y＝x2－2x－3＝－3≠－，∴P1不在拋物線上．

當P2時，由（1）知y＝x2－2x－3＝0≠－，

∴P2不在拋物線上．

綜上所述：在拋物線上x軸下方不存在點P，使以P，M，F，B為頂點的四邊形是平行四邊形