Question

如圖，雙曲線與直線x＝k相交于點P，過點P作PA⊥y軸于A，y軸上的點A₁、A₂、A₃……An的坐標是連續整數，分別過A₁、A₂……An作x軸的平行線于雙曲線（x＞0）及直線x＝k分別交于點B₁、B₂，……Bn，C₁、C₂，……Cn.

（1）求A的坐標；
（2）求及的值；
（3）猜想的值（直接寫答案）.

Answer 1

（1）（0,1）（2），（3）

解：（1）在中當x＝k時，y＝1，
∵PA⊥y軸于A，
∴A點坐標為（0,1）.………………………………2分
（2）∵A₁、A₂…An的坐標為連續整數，
∴A₁為（0，2），A₂（0，3）.
∴B₁為（），C₁（k，2），B₂（），C₂（k，3）.
∴A₁B₁＝，B₁C₁＝，C₂B₂＝，A₂B₂＝，
∴，.  …………………………6分
（3）提示：An為（0，n＋1）
∴Bn為（），Cn（k，n＋1），
∴AnBn＝，BnCn＝，
∴.  …………………………10分
（1）由于點P為雙曲線 與直線x=k的交點，則把x=k代入，得y=1，得到A點坐標為（0，1）；
（2）利用點A₁、A₂、A₃…A_n的坐標是連續整數得到A₁（0，2），A₂（0，3），易得B₁（ ，2），C₁（k，2），B₂（，3），C₂（k，3），則得A₁B₁=，B₁C₁=，C₂B₂=，A₂B₂=，于是可計算出求C₁B₁/A₁B₁、C₂B₂/A₂B₂的值；
（3）（3）先得到A_n的坐標為（0，n+1），則B_n的坐標（ ，n+1），C_n的坐標為（k，n+1），所以A_nB_n=，B_nC_n=k-=k，易得B_nC_n /A_nB_n的值．