Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，O是坐標原點，已知點B的坐標是（3，0），tan∠OAC=3；

（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）點P在x軸上方的拋物線上，且∠PAB=∠CAB，求點P的坐標；
（3）若平行于x軸的直線與拋物線交于點M、N（M點在N點左側），
①若以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑；
②若Q（m，4）是直線MN上一動點，當以點C、B、Q為頂點的三角形的面積等于6時，請直接寫出符合條件的m值，為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣3與y軸交于點C，

∴點C的坐標為（0，﹣3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC=3，

∴OA=1，即點A的坐標為（﹣1，0），

將點A和點B的坐標代入得： ，解得 ，

∴拋物線的函數表達式是y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：∵∠PAB=∠CAB，

∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，

∵點P在x軸上方，設點P的橫坐標為x，則點P的縱坐標為3（x+1），

∴3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，當x=6時，y=21，

∴點P的坐標為（6，21）

（3）3或11
【解析】解：（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1．
①當直線MN在x軸上方時，設圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
∴R=（ R+1﹣1）2﹣4，解得：R= （負值舍去），
∴R= ．
當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r＞0），
∴N（r+1，﹣r），
∴﹣r=（r+1﹣1）2﹣4，解得：r= （負值舍去），
∴r= ，
∴圓的半徑為： 或 ．
②設直線BC的解析式為y=kx+b，將點C和點B的坐標代入得： ，
解得k=1，b=﹣3，
∴直線BC的解析式為y=x﹣3．
勾股定理可知：BC= =3 ．
∵△QCB的面積為6，
∴BC邊上的高線的長度= =2 ．
如圖1所示：即直線BC與y=4的交點為D，當點Q在點D的左側時，過點Q作QE⊥BC，則EQ=2

將y=0代入得直線BC的解析式得：x﹣3=4，解得x=7，
∴點D的坐標為（7，4）．
∵QD∥x軸，
∴∠QDC=∠OBC=45°．
∴QD= QE= ×2 =4．
∴Q（3，4）．
∴m=3．
如圖1所示，當Q位于點D的右側時（Q′處），過點Q′作Q′F⊥BC，垂足為F．則FQ=2 ，
同理可知：DQ′=4．
∴點Q′的坐標為（11，4）．
∴m=11．
綜上所述，m的值為3或11．
所以答案是：3或11．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的概念(一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數)．