Question

【題目】（探究）（1）如圖①，點E、F、G、H分別在平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，連結EF、FG、GH、HE，將△AEH、△BFE、△CGF、△DHG分別沿EF、FG、GH、HE折疊，折疊后的圖形恰好能拼成一個無重疊、無縫隙的矩形．若，，求的長．

（拓展）（2）參考圖②，四邊形ABCD是平行四邊形，，當按圖①的方式折疊后的圖形能拼成一個無重疊、無縫隙的正方形時，則___________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意可證△HGN≌△EFM，可得HN=FM，且AH=HM，可證AD=HF=5，根據勾股定理可求EH的長．

（2）由探究可得AD=HF，BE=EM=AE，∠B=∠EMF，由EFGH為正方形，可得HF=EF，∠EFH=45°，解△EFM可得EM=EF，則可求的值．

解：（1）如圖1

∵折疊后A、B落在點M處，C、D落在點N處．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠C+∠D=180°，∠B=∠D．

由折疊可知，

∠C=∠FNG，∠D=∠HNG，∠B=∠EMF=∠D=∠GNH，HD=HN，MF=BF，AH=MH．

∴H、N、F共線．

∵折疊后的圖形恰好能拼成一個無重疊、無縫隙的矩形，

∴H、N、M、F共線，EF=HG，EF∥HG，∠FEH=90°．

∴∠NHG=∠MFE．

∴△EFM≌△GHN．

∴MF=BF=HN=HD．

∴AH+HD=MH+MF．

即AD=FH．

∵AD=5，EF=2，∠FEH=90°，

∴FH=5．

由勾股定理得

；

（2）如圖2

由探究可得：AD=HF，BE=EM=AE，∠B=∠EMF

∵∠A=120°，AD∥BC

∴∠B=60°=∠EMF

∵EHGF是正方形

∴EH=EF，∠EFH=45°

∴FH=EF

作EO⊥HF，且∠EFH=45°

∴EO=FO=EF

∵∠EMF=60°，EO⊥HF，

∴EO=OM，EM=2MO

∴OM=EF，EM=EF

∴BE=AE=EF

∴AB=EF

∴.

故答案為：.