Question

【題目】已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點M、N，連結MN，作AH⊥MN，垂足為點H

（1）如圖1，猜想AH與AB有什么數量關系？并證明；

（2）如圖2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，且BD=2，CD=3，求AD的長；

小萍同學通過觀察圖①發現，△ABM和△AHM關于AM對稱，△AHN和△ADN關于AN對稱，于是她巧妙運用這個發現，將圖形如圖③進行翻折變換，解答了此題．你能根據小萍同學的思路解決這個問題嗎？

Answer 1

【答案】（1）AB=AH，理由見解析；（2）6

【解析】（1）延長CB至E使BE=DN，連接AE，由三角形全等可以證明AB=AH；
（2）作△ABD關于直線AB的對稱△ABE，作△ACD關于直線AC的對稱△ACF，延長EB、FC交于點G，則四邊形AEGF是矩形，又，所以四邊形AEGF是正方形，設AD=x，則EG=AE=AD=FG=x，則BG=x2；CG=x3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，解之得 所以AD的長為6．

(1)答：AB=AH，

證明：延長CB至E使BE=DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴

∴

又∵AB=AD，

∵在△ABE和△ADN中，

，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠1=∠2，AE=AN，

∵

∴

∴，

即

∵在△EAM和△NAM中，

，

∴△EAM≌△NAM（SAS），

又∵EM和NM是對應邊，

∴AB=AH(全等三角形對應邊上的高相等)；

(2)作△ABD關于直線AB的對稱△ABE，作△ACD關于直線AC的對稱△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴

∴

又∵

∴，

延長EB、FC交于點G，則四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD=AF

∴四邊形AEGF是正方形，

由(1)、(2)知：EB=DB=2，FC=DC=3，

設AD=x，則EG=AE=AD=FG=x，

∴BG=x2；CG=x3；BC=2+3=5，

在Rt△BGC中,

解得

故AD的長為6.