Question

【題目】如圖，AM為⊙O的切線，A為切點，過⊙O上一點B作BD⊥AM于點D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．

（1）求∠AOB的度數；

（2）若線段CD的長為2cm，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）.

【解析】

（1）由AM為圓O的切線，利用切線的性質得到OA與AM垂直，再由BD與AM垂直，得到OA與BD平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由OC為角平分線得到一對角相等，以及OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；
（2）過點O作OE⊥BD，垂足為E，由題意可證四邊形ADEO是矩形，可得OA=DE，即可求CD=CE=2cm，可得OA=4cm，根據弧長公式可求弧AB的長度．

解：（1）∵AM為圓O的切線，

∴OA⊥AM，

∵BD⊥AM，

∴∠OAD＝∠BDM＝90°，

∴OA∥BD，

∴∠AOC＝∠OCB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴∠AOB＝120°；

（2）如圖：過點O作OE⊥BD，垂足為E

∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴OB＝OC＝BC

∵OE⊥BD，

∴BE＝CE＝BC＝OA

∵OE⊥BD，且OA⊥AD，BD⊥AD

∴四邊形ADEO是矩形

∴OA＝DE

∴CD+CE＝OA＝2CE，且CD＝2cm

∴CE＝2cm

∴OA＝4cm

∴弧AB的長度＝ ＝π