Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在AB上，以AE為直徑的⊙O經過點D．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；

（2）若∠B=30°，AC=3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）π-．

【解析】

（1）連接OD，由AD平分∠BAC，可知∠OAD=∠CAD，易證∠ODA=∠OAD，所以∠ODA=∠CAD，所以OD∥AD，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，從而可證直線BC是⊙O的切線；
（2）根據含30度角的直角三角形性質可求出AB的長度，然后求出∠AOD的度數，然后根據扇形的面積公式即可求出答案．

解：（1）連接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

∴直線BC是⊙O的切線；

（2）由∠B=30°，∠C=90°，∠ODB=90°，

得：AB=2AC=6，OB=2OD，∠AOD=120°，

∠DAC=30°，

∵OA=OD，

∴OB=2OA，

∴OA=OD=2，

由∠DAC=30°，得DC=，

∴S陰影=S扇形OAD-S△OAD

=π×4-×2×

=π-．