Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是AC的一點，連接EB，過點A做AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于點F．

（1）猜想：如圖（1）線段OE與線段OF的數量關系為　 　；

（2）拓展：如圖（2），若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，AM、DB的延長線相交于點F，其他條件不變，（1）的結論還成立嗎？如果成立，請僅就圖（2）給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）成立.理由見解析.

【解析】

（1）根據正方形的性質對角線垂直且平分，得到OB=OA，又因為AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.

（2）根據第一步得到的結果以及正方形的性質得到OB=OA，再根據已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.

解：（1）正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AM⊥BE，

∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，

∵∠AFO=∠BFM（對頂角相等），

∴∠OAF=∠OBE（等角的余角相等），

又OA=OB（正方形的對角線互相垂直平分且相等），

∴△BOE≌△AOF（ASA），

∴OE=OF.

故答案為：OE=OF；

（2）成立.理由如下：

證明：∵四邊形是正方形，

∴，

又∵，

∴，，

又∵

∴∴，

∴