Question

【題目】（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數．

（2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M，N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數量關系，并說明理由．

（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長．

Answer 1

【答案】（1）45°（2）MN2=ND2+DH2（3）

【解析】

試題分析：（1）根據高AG與正方形的邊長相等，證明三角形全等，進而證明角相等，從而求出解．

（2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結論．

（3）設出線段的長，結合方程思想，用數形結合得到結果．

試題解析：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．

∴∠BAE=∠GAE．

同理，∠GAF=∠DAF．

∴．

（2）MN2=ND2+DH2．

∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．

∴∠HAN=∠MAN．

又∵AM=AH，AN=AN，

∴△AMN≌△AHN．

∴MN=HN．

∵∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．

∴NH2=ND2+DH2．

∴MN2=ND2+DH2．

（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．

設AG=x，則CE=x﹣4，CF=x﹣6．

在Rt△CEF中，

∵CE2+CF2=EF2，

∴（x﹣4）2+（x﹣6）2=102．

解這個方程，得x1=12，x2=﹣2（舍去負根）．

即AG=12．

在Rt△ABD中，

∴．

在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，

∴MN2=ND2+BM2．

設MN=a，則．

即a 2=（9﹣a） 2+（3） 2，

∴．即MN=5．