Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點F在BC邊上，過A，B，F三點的⊙O交AC于另一點D，作直徑AE，連結EF并延長交AC于點G，連結BE，BD，四邊形BDGE是平行四邊形．

（1）求證：AB＝BF．

（2）當F為BC的中點，且AC＝3時，求⊙O的直徑長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

（1）連接AF，根據圓周角定理得到AF⊥EG，根據平行四邊形的性質得到BD∥EG，推出BD垂直平分AF，于是得到AB=BF；

（2）根據直角三角形的性質得到BF=BC，求得AB=BC，得到∠C=30°，求得∠ABC=60°，AB=，AC=，于是得到結論．

解：（1）連接AF，

∵AE是⊙O的直徑，

∴AF⊥EG，

∵四邊形BDGE是平行四邊形，

∴BD∥EG，

∴BD⊥AF，

∵∠BAC＝90°，

∴BD是⊙O的直徑，

∴BD垂直平分AF，

∴AB＝BF；

（2）∵當F為BC的中點，

∴BF＝BC，

∵AB＝BF，

∴AB＝BC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠C＝30°，

∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，

∵AB＝BF，

∴∠ABD＝30°，

∴BD＝2，

∴⊙O的直徑長為2．