Question

【題目】如圖，以O為圓心的兩個同心圓，大圓半徑為5，小圓半徑為，點P為大圓上的一點，PC、PB切小圓于點A、點B，交大圓于C、D兩點，點E為弦CD上任一點，則AE+OE的最小值為 .

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：連接PO，并延長OP到O′交CD于點G，使OG=O′G，連接AO′交CD于點E，連接OE，過點A作AF⊥OP，垂足為F，由切線的性質可知OB⊥PD，由垂徑定理可知PB=BD，在Rt△OPB中，由勾股定理可知PB=2，故此PD=4，同理可知PC=4，從而得到PC=PD，然后證明PO平分∠CPD，由等腰三角形三線合一的性質可知PG⊥DC，依據銳角三角函數的定義可知OF=1，AF=2，PG=8，從而求得OO′=7，在Rt△AFO′中，由勾股定理可知AO′=.

解：如圖所示：連接PO，并延長OP到O′交CD于點G，使OG=O′G，連接AO′交CD于點E，連接OE，過點A作AF⊥OP，垂足為F.

∵PB是小圓的切線，

∴OB⊥PD.

∴PB=BD.

在Rt△OPB中，PB===2.

∴PD=4.

同理：PC=4.

∴PC=PD.

∵PA、PB是小圓的切線，

∴PO平分∠CPD.

∴PG⊥DC.

∴CD是OO′的垂直平分線.

∴OE=O′E.

∴AE+EO=AE+EO′=AO′.

∵cos∠AOF==，

∴OF=AO×cos∠AOF==1，AF=2OF=2.

∵PG=PC×==8，

∴OG=PG﹣OP=3.

∴OO′=1+3+3=7.

在Rt△AFO′中，AO′===.

故答案為：.