Question

已知：如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，點M從點B開始，以每秒1個單位的速度向點C運動；點N從點D開始，沿D→A→B方向，以每秒1個單位的速度向點B運動．若點M、N同時開始運動，其中一點到達終點，另一點也停止運動，運動時間為t（t＞0）．過點N作NP⊥BC與P，交BD于點Q．
（1）點D到BC的距離為

 

；
（2）求出t為何值時，QM∥AB；
（3）設△BMQ的面積為S，求S與t的函數關系式；
（4）求出t為何值時，△BMQ為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）分別過點A，D作BC邊上的高，交BC邊于E，F，由于四邊形ABCD是等腰梯形，可得出BE=CF=（BC-AD）÷2=1，又由AB=DC=2，根據勾股定理可得點D到BC的距離DF=

22-1

=

3

（2）根據（1）得出的DF的值，可求出BD的長為2

3

，那么三角形BDC是個直角三角形，且∠C=60°，∠DBC=30°，如果QM∥AB，可得出∠PMQ度數也是60°，可先表示出MP的長，然后根據∠PQM的度數表示出PQ，然后根據QP∥DF，得出關于QP，DF，BP，BF的比例關系式，DF的值是定值，可表示出BP，BF，這樣就可求出t的值．
（3）要分兩種情況進行討論
①當N在AD上時，關鍵是求出PQ，可在直角三角形BPQ中，先表示出BP，然后根據∠QBP的度數即可求出PQ的長，然后根據三角形的面積公式即可得出S，t的函數關系式．
②N在AB上時，還是要先求出PQ的值，可先表示出BN，然后在直角三角形BNP中，表示出BP，進而在直角三角形BPQ中，用BP表示出PQ，即可根據三角形的面積公式得出S，t的函數關系式．
（4）也要分兩種情況進行討論．
第一種情況，當N在AD上時，①當∠BMQ=90°時，那么M，P重合，于是就有BM+ND+FC=BC，即2t+1=4，即可得出t的值．
②當∠BQM=90°時，可先在直角三角形NDQ中，用ND的長，表示出NQ，然后根據求出的D到BC的距離，即可表示出PQ，這時PQ的第一種表示方法．第二種表示方法是，在直角三角形BMQ中，用BM表示出QM，然后在直角三角形QPM中，表示出PQ，然后可讓這兩個表示PQ的式子相等，即可得出此時的t的值．
第二種情況，當N在AB上時，此時只有∠BQM=90°，方法同②，也是通過不同的表示PQ的方法來得出t的值，方法同（3）②．

解答：解：（1）

3

（2）過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，則四邊形AEFD是矩形．
BE=CF=

BC-AD

2

=1．
直角三角形CFD中，CF=1，CD=2，cos∠C=

1

2

∴∠C=60°，DF=

3

．
∴∠ABE=∠C=60°
∵QM∥AB
∴∠QMP=60°
∵BM=t，PF=ND=t，FC=1，BC=4
∴PM=3-2t，BP=3-t．
直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=3-2t，QP=

3

（3-2t）．
∵QP⊥BC，DF⊥BC
∴QP∥DF，
∴△BQP∽△BDF，
∴

BP

BF

=

QP

DF

，即

3-t

3

=

3 (3-2t)

3

∴5t=6，即t=1.2（s）
當t=1.2s時，QM∥AB

（3）當0＜t≤2時，三角形BDF中，BF=3，DF=

3

，
∴BD=2

3

三角形BCD中，CD=2，BD=2

3

，BC=4，
因此BD²+CD²=BC²，
即三角形BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∠DBC=30°．
直角三角形BQP中，BP=3-t，∠DBC=30°，
∴PQ=

3

3

（3-t）
因此：S=

1

2

×t×

3

3

（3-t）=-

3

6

t²+

3

2

t
當2＜t＜4時，直角三角形NBP中，∠ABC=60°，BN=4-t，
∴BP=

4-t

2

．
在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=

4-t

2

，
∴QP=

3 (4-t)

6

因此：S=

1

2

×t×

3 (4-t)

6

=-

3

12

t²+

3

3

t

（4）當0＜t≤2時，即N在AD上時，分兩種情況進行討論：
①當∠BMQ=90°，即M與P點重合，那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
解得：t=1.5s．
②當∠BQM=90°，在直角三角形NQD中，ND=t，∠ADB=∠DBC=30°，
∴NQ=

3

3

t．
∵NP=

3

∴QP=

3

-

3

3

t
在直角三角形BQM中，∠DBC=30°，BM=t
∴QM=

1

2

t
在直角三角形QPM中，∠QMP=60°，QM=

1

2

t
∴QP=

3

4

t
∴

3

-

3

3

t=

3

4

t．
解得t=

12

7

s．
當2＜t＜4時，∠BQM=90°
直角三角形BNP中，BN=4-t，∠ABC=60°，
∴BP=

4-t

2

，
∴PM=BM-BP=t-

4-t

2

=

3t-4

2

在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=

4-t

2

∴PQ=

3 (4-t)

6

直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=

3t-4

2

∴PQ=

3 (3t-4)

2

因此

3 (4-t)

6

=

3 (3t-4)

2

，
解得t=1.6s，與此時t的取值范圍不符，
因此這種情況不成立．
綜上所述，當t=1.5s或

12

7

s，△BMQ是直角三角形．

點評：本題主要考查了等腰梯形的性質，相似三角形的性質等知識點，要注意的是（3）（4）都要分情況討論，不要漏解．