Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點為A(1，4)，拋物線與y軸交于點B(0，3)，與x軸交于C、D兩點.點P是x軸上的一個動點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當PA+PB的值最小時，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+2x+3.(2)( ,0)

【解析】試題分析：

（1）由題意可設拋物線解析式為“頂點式”，再代入點B的坐標可求得解析式；

（2）由題意作出點B關于軸的對稱軸點E，連接AE交軸于點P，P為所求的點，由A、E的坐標可求得直線AE的解析式，再由AE的解析式就可求得點P的坐標.

試題解析：

(1)∵拋物線的頂點A的坐標為（1，4），

∴設拋物線的表達式為y＝a(x－1)2＋4.

∵拋物線過點B(0，3)，

∴3＝a(0－1)2＋4.

解得a＝－1.

∴二次函數的表達式為y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.

(2)作點B關于x軸的對稱點E(0，－3)，

連接AE交x軸于點P，點P即為所求點．

設AE所在直線的表達式為y＝kx＋b，

分別代入A，E坐標，得，解得，

∴y＝7x－3.

當y＝0時，x＝.

∴點P的坐標為(，0)．