Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（5，0），點B的坐標為（8，4），點C的坐標為（3，4），連接AB、BC、OC

（1）求證四邊形OABC是菱形；

（2）直線l過點C且與y軸平行，將直線l沿x軸正方向平移，平移后的直線交x軸于點P．

①當OP：PA＝3：2時，求點P的坐標；

②點Q在直線1上，在直線l平移過程中，當△COQ是等腰直角三角形時，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①點P坐標為（3，0）或（15，0）；②點Q坐標為：（﹣4，3），（7，1），（，）

【解析】

（1）根據兩點距離公式可求AO=BC=CO=AB=5，即可證四邊形OABC是菱形；
（2）①分點P在線段OA上，在點A右側兩種情況討論，根據題意可求OP的長，即可求點P的坐標；
②分三種情況討論，根據全等三角形的判定和性質，可求點Q的坐標．

證明：（1）∵點A的坐標為（5，0），點B的坐標為（8，4），點C的坐標為（3，4），O點坐標（0，0）

∴AO＝BC＝5，CO＝＝5，AB＝ ＝5

∴AO＝BC＝CO＝AB＝5

∴四邊形ABCO是菱形

（2）①當點P在線段OA上，

∵OP：PA＝3：2，OP+AP＝5

∴OP＝3，PA＝2

∴點P坐標為（3，0）

當點P在點A的右側，

∵OP：PA＝3：2，OP﹣AP＝OA＝5

∴OP＝15，AP＝10

∴點P坐標為（15，0）

②如圖，當∠COQ＝90°，OC＝OQ時，過點C作CE⊥OA于E，則OE＝3，CE＝4，

∵∠COE+∠POQ＝90°，∠COE+∠OCE＝90°，

∴∠OCE＝∠POQ，且OC＝OQ，∠CEO＝∠OPQ

∴△COE≌△QOP（AAS）

∴PQ＝OE＝3，OP＝CE＝4，

∴點Q坐標（﹣4，3）

如圖，當∠OCQ＝90°，OC＝CQ時，過點C作CE⊥OA于點E，則CE＝4，OE＝3，

過點Q作FQ⊥CE于點F，

∵∠OCE+∠ECQ＝90°，∠ECQ+∠CQF＝90°，

∴∠OCE＝∠CQF，且OC＝CQ，∠OEC＝∠CFQ＝90°，

∴△OEC≌△CFQ（AAS）

∴CF＝OE＝3，FQ＝CE＝4，

∴EF＝1，

∵QF⊥CE，CE⊥AO，PQ⊥OA

∴四邊形EPQF是矩形

∴EP＝FQ＝4

即OP＝7

∴點Q坐標為（7，1）

如圖，若∠CQO＝90°，CQ＝OQ時，過點C作CE⊥OA于點E，則CE＝4，OE＝3，

∵∠CQH+∠OQP＝90°，∠PQO+∠QOP＝90°，

∴∠CQH＝∠QOP，且OQ＝CQ，∠CHQ＝∠OPQ＝90°，

∴△OPQ≌△QHC（AAS）

∴OP＝HQ，CH＝PQ，

∵CE⊥OA，PH⊥BC，PH⊥OA

∴四邊形CEPH是矩形，

∴EP＝CH＝PQ，HP＝CE＝4，

∵HQ+PQ＝HP＝4＝OP+EP，OP﹣EP＝OE＝3，

∴OP＝，EP＝PQ＝

∴點Q坐標（）

綜上所述：點Q坐標為：（﹣4，3），（7，1），（）