Question

【題目】如圖，帆船A和帆船B在太湖湖面上訓(xùn)練，O為湖面上的一個定點，教練船靜候于O點，訓(xùn)練時要求A、B兩船始終關(guān)于O點對稱．以O為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，x軸、y軸的正方向分別表示正東、正北方向．設(shè)A、B兩船可近似看成在雙曲線y＝上運動，湖面風(fēng)平浪靜，雙帆遠(yuǎn)影優(yōu)美，訓(xùn)練中當(dāng)教練船與A、B兩船恰好在直線y＝x上時，三船同時發(fā)現(xiàn)湖面上有一遇險的C船，此時教練船測得C船在東南45°方向上，A船測得AC與AB的夾角為60°，B船也同時測得C船的位置（假設(shè)C船位置不再改變，A、B、C三船可分別用A、B、C三點表示）．

(1)發(fā)現(xiàn)C船時，A、B、C三船所在位置的坐標(biāo)分別為A(_______，_______)、B(_______，_______)和C(_______，_______)；

(2)發(fā)現(xiàn)C船，三船立即停止訓(xùn)練，并分別從A、O、B三點出發(fā)沿最短路線同時前往救援，設(shè)A、B兩船的速度相等，教練船與A船的速度之比為3：4，問教練船是否最先趕到？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(2，2)，B(－2，－2)，C(2，－2)；（2）教練船沒有最先趕到，理由見詳解．

【解析】

（1）A、B兩點直線y=x上和雙曲線y=，列方程組可求A、B兩點坐標(biāo)，在依題意判斷△ABC為等邊三角形，OA=2，則OC=OA=2，過C點作x軸的垂線CE，垂足為E，利用OC在第四象限的角平分線上求OE，CE，確定C點坐標(biāo)；

（2）分別求出AC、OC的長，分別表示教練船與A、B兩船的速度與時間，比較時間的大小即可．

解：（1）CE⊥x軸于E，解方程組

得，

∴A（2，2），B（-2，-2），

在等邊△ABC中可求OA=2，

則OC=OA=2，

在Rt△OCE中，，

∴C（2，-2）；

（2）作AD⊥x軸于D，連AC、BC和OC，

∵A（2，2），

∴∠AOD=45°，AO=2，

∵C在O的東南45°方向上，

∴∠AOC=45°+45°=90°，

∵AO=BO，∴AC=BC，

又∵∠BAC=60°，

∴△ABC為正三角形，

∴AC=BC=AB=2AO=4，

∴，

由條件設(shè)教練船的速度為3m，A、B兩船的速度都為4m，

則教練船所用時間為，A、B兩船所用時間均為=，

∵=，=，

∴＞；

∴教練船沒有最先趕到．