Question

【題目】如圖，直線y=x+與x軸交于點A，與y軸交于點C，以AC為直徑作⊙M，點D是劣弧AO上一動點（D點與A，C不重合）．拋物線y=－x+bx+c經過點A、C，與x軸交于另一點B，

（1）求拋物線的解析式及點B的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

（3）連CD交AO于點F，延長CD至G，使FG=2，試探究當點D運動到何處時，直線GA與⊙M相切，并請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y= , B(1，0) ;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】（1）直接利用待定系數法求二次函數解析式，進而求出其對稱軸和B點坐標；

（2）首先利用待定系數法求一次函數解析式進而得出，此時PA=PB，|PA-PC|的值最大，求出即可；

（3）當D運動到劣弧AO的中點時，直線AG與⊙M相切，利用已知得出△AFG為等邊三角形，進而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案．

（1）由y=x+， 得：A（-3，0），C（0，），

將其代入拋物線解析式得：，解得：，

∴y=，

∵對稱軸是x=-1，

∴由對稱性得B(1，0)；

（2）延長BC與對稱軸的交點就是點P，

設直線BC的解析式為y=mx+n，

把B(1，0)，C（0，）代入得：，解得：，

則直線BC解析式為：y=-x+，

當x=-1時，y=2，

∴P(-1, 2)；

（3）結論：當D運動到劣弧AO的中點時，直線AG與⊙M相切，理由如下：

∵在RT△AOC中，tan∠CAO=，

∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，

∵點D是的中點，

∴，

∴∠ACD=∠DCO=30°，

∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，

∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，

∵FG=2，

∴△AFG為等邊三角形，

∴∠GAF=60°，

∴∠CAG=30°+60°=90°，

∴AC⊥AG，

∴AG為⊙M的切線．