Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x＝2，交拋物線于點D，交x軸于點E．

（1）請直接寫出：拋物線的函數解析式及點B、點D的坐標；

（2）拋物線對稱軸上的一動點P從點D出發，以每秒1個單位的速度向上運動，連接OP，BP，設運動時間為t秒（t＞0）．在點P的運動過程中，請求出：當t為何值時，∠OPB＝90°？

（3）如圖2，點Q在拋物線上運動（點Q不與點A、B重合），當△QBC的面積與△ABC的面積相等時，請求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x﹣3；B（3，0），D（2，1）；（2）t＝-1.

（3）（，）、（、）或（2，1）

【解析】

（1）根據待定系數法即可得到拋物線的表達式，再結合題意即可得到點B、點D的坐標；

（2）假設t秒時，點P（2，1+t），由題意可得OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，AB2＝9，根據勾股定理可得4+（1+t）2+1+（1+t）2＝9，計算即可得到答案．

（3）根據題意算出點Q與BC的距離，求出與BC平行且距離為此距離的平行線的直線方程，與二次函數聯立即可求解.

解：（1）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝2，則點B（3，0），

拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

即3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x﹣3…①，

函數的對稱軸為：x＝2，則點D（2，1）；

（2）t秒時，點P（2，1+t），

則OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，AB2＝9，

∵∠OPB＝90°，則4+（1+t）2+1+（1+t）2＝9，

解得：t＝-1（負值已舍去）．

（3）如下圖，過點A作BC的平行線交拋物線于點Q、交y軸于點K，

則△QBC的面積與△ABC的面積相等，過點A作AG⊥BC于點G，過點K作KH⊥BC于點H，則AG＝KH，

直線BC的傾斜角為45°，則AG＝AB＝＝KH，

則KC＝2，故點K（﹣1，0），[來源:.Com]

則直線AQ的函數表達式為：y＝x﹣1…②，

聯立①②并解得：x＝1或2（舍去1），

故點Q（2，1）；

在BC的下方與AQ等距離位置作BC的拋物線交拋物線于點Q′、Q″，

同理可得直線Q′Q″的表達式為：y＝x﹣5…③，

聯立①③并解得：x＝，

故點Q（Q′、Q″）的坐標為：（，）、（、）；

綜上，點Q的坐標為：（，）、（、）或（2，1）．