Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點(diǎn)D在AB邊上運(yùn)動(dòng)（D不與A、B重合），連結(jié)CD．作∠CDE=30°，DE交AC于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，△ACD的形狀按角分類是　 　；

在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數(shù)；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形；（2）可以是等腰三角形，∠AED度數(shù)為60°或105°.

【解析】試題分析：（1）由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，則△ACD是直角三角形．

（2）分類討論：當(dāng)∠CDE=∠ECD時(shí)，EC=DE；當(dāng)∠ECD=∠CED時(shí)，CD=DE；當(dāng)∠CED=∠CDE時(shí)，EC=CD；然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算．

試題解析：解：（1）∵△ABC中，AC=BC，∴∠A=∠B=（180°-∠ACB）÷2=（180°-120°）÷2=30°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=30°．又∵∠CDE=30°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴△ACD是直角三角形；

（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：

①當(dāng)∠CDE=∠ECD時(shí)，EC=DE，∴∠ECD=∠CDE=30°，∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∴∠AED=60°；

②當(dāng)∠ECD=∠CED時(shí)，CD=DE，∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，∴∠CED=（180°-∠CDE）÷2=（180°-30°）÷2=75°，∴∠AED=180°﹣∠CED=105°；

③當(dāng)∠CED=∠CDE時(shí)，EC=CD，∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠ACB=120°，∴此時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意．

綜上所述：△ECD可以是等腰三角形，此時(shí)∠AED的度數(shù)為60°或105．