Question

【題目】如圖，A是以BC為直徑的⊙O上的一點， AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E, 點F是EB的中點，連結CF交AD于點G.

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）求證：AG=GD；

（3）若FB=FG，且⊙O的半徑長為，求BD.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）連接AB, OA，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠BAC=90°，∠BAE=90°，根據切線的判定與性質可證明；

（2）利用相似三角形的性質與判定可證明；

（3）過點F作FH⊥AD于點H，由等腰三角形和相似三角形的性質與判定可求解.

試題解析：（1）連接AB, OA，

∵BC是直徑

∴∠BAC=90°，∠BAE=90°

∵點F是EB的中點

∴AF=BF=EF

∵AF=BF

∴∠FBA=∠FAB

∵OB=OA

∴∠OBA=∠OAB

∴∠FBD=∠FAO

∵BF是⊙O的切線

∴∠FBD=90°

∴∠FAO=90°

∴AF是⊙O的切線。

（2）∵AD⊥BC，∠FBD=90°

∴EB∥AD

∴△FBC∽△GDC, △EBC∽△ADC

∴,

∴

∵EF=FB

∴AG=GD

（3）過點F作FH⊥AD于點H

∵AD⊥BC, FH⊥AD

∴FH∥BC

∴∠FHG=∠GDO, ∠HFG=∠DCG

∴△HFG∽△DCG

∵AD⊥BC, FH⊥AD,EB⊥BC

∴四邊形HFBD是矩形

∴FH=BD

∵FG=FB,FB=FA

∴FA=FG

∴△AFG是等腰三角形

∴,

∵AG=GD

∴

設BD=x，則FH=x，CD=

∵△HFG∽△DCG

∴

∴

∴BD=