Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于點D，交BC于點E，連接ED．

（1）求證：ED＝EC；

（2）填空：

①設CD的中點為P，連接EP，則EP與⊙O的位置關系是　 　；

②連接OD，當∠B的度數為　 　時，四邊OBED是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①相切；②60°

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質解答即可；

（2）①如圖，連接AE，OE，根據圓周角定理得到AE⊥BC，根據三角形的中位線定理得到OE∥AC，根據平行線的性質得到OE⊥PE，于是得到結論；

②根據已知條件得到△OBE是等邊三角形，求得OB＝BE，同理OD＝DE，根據菱形的判定定理即可得到結論.

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠CDE＝∠B，

∴∠CDE＝∠C，

∴CE＝DE；

（2）①相切；

理由：如圖，連接AE，OE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AE⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE，

∵BO＝OA，

∴OE∥AC，

∵DE＝CE，PD＝CP，

∴PE⊥AC，

∴OE⊥PE，

∴EP與⊙O的位置關系是相切；

②當∠B的度數為60°時，四邊OBED是菱形，

∵OB＝OE，∠B＝60°，

∴△OBE是等邊三角形，

∴OB＝BE，同理OD＝DE，

∴OD＝DE＝BE＝OB，

∴四邊OBED是菱形.

故答案為：相切；60°.