Question

【題目】如圖，點都在反比例函數的圖象上．

（1）求的值；

（2）如果為軸上一點，為軸上一點，以點為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線的函數表達式；

（3）將線段沿直線進行對折得到線段，且點始終在直線上，當線段與軸有交點時，則的取值范圍為_______（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）m=3，k=12；（2）yx+2或yx﹣2；（3）．

【解析】

（1）由題可得m（m+1）=（m+3）（m﹣1）=k，解這個方程就可求出m、k的值．

（2）由于點A、點B是定點，可對線段AB進行分類討論：AB是平行四邊形的邊、AB是平行四邊形的對角線，再利用平行四邊形的性質、中點坐標公式及直線的相關知識就可解決問題．

（3）由于點A關于直線y=kx+b的對稱點點A1始終在直線OA上，因此直線y=kx+b必與直線OA垂直，只需考慮兩個臨界位置（A1在x軸上、B1在x軸上）對應的b的值，就可以求出b的取值范圍．

（1）∵點A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函數y的圖象上，∴m（m+1）=（m+3）（m﹣1）=k．

解得：m=3，k=12，∴m、k的值分別為3、12．

（2）設點M的坐標為（m，0），點N的坐標為（O，n）．

①若AB為平行四邊形的一邊．

Ⅰ．點M在x軸的正半軸，點N在y軸的正半軸，連接BN、AM交于點E，連接AN、BM，如圖1．

∵四邊形ABMN是平行四邊形，∴AE=ME，NE=BE．

∵A（3，4）、B（6，2）、M（m，0）、N（0，n），∴由中點坐標公式可得：

xE，yE，∴m=3，n=2，∴M（3，0）、N（0，2）．

設直線MN的解析式為y=kx+b．

則有

解得：，∴直線MN的解析式為yx+2．

Ⅱ．點M在x軸的負半軸，點N在y軸的負半軸，連接BM、AN交于點E，連接AM、BN，如圖2，同理可得：直線MN的解析式為yx﹣2．

②若AB為平行四邊形的一條對角線，連接AN、BM，設AB與MN交于點F，如圖3．

同理可得：直線MN的解析式為yx+6，此時點A、B都在直線MN上，故舍去．

綜上所述：直線MN的解析式為yx+2或yx﹣2．

（3）①當點B1落到x軸上時，如圖4．

設直線OA的解析式為y=ax．

∵點A的坐標為（3，4），∴3a=4，即a，∴直線OA的解析式為yx．

∵點A1始終在直線OA上，∴直線y=kx+b與直線OA垂直，∴k=﹣1，∴k．

由于BB1∥OA，因此直線BB1可設為yx+c．

∵點B的坐標為（6，2），∴6+c=2，即c=﹣6，∴直線BB1解析式為yx﹣6．

當y=0時，x﹣6=0．則有x，∴點B1的坐標為（，0）．

∵點C是BB1的中點，∴點C的坐標為（）即（，1）．

∵點C在直線yx+b上，∴b=1．

解得：b．

②當點A1落到x軸上時，如圖5．

此時，點A1與點O重合．

∵點D是AA1的中點，A（3，4），A1（0，0），∴D（，2）．

∵點D在直線yx+b上，∴b=2．

解得：b．

綜上所述：當線段A1B1與x軸有交點時，則b的取值范圍為．

故答案為：．