Question

某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）當MN和AB之間的距離為0.5米時，求此時△EMN的面積；
（2）設MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數；
（3）請你探究△EMN的面積S（平方米）有無最大值？若有，請求出這個最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要看圖解答問題．得出當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN應位于DC下方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米可得出三角形EMN的面積．
（2）本題要分情況解答（0＜x≤1；1＜x＜1+

3

）．當0＜x≤1時，可直接得出三角形的面積函數，當1＜x＜1+

3

，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，先求FG，再證△MNG∽△DCG，繼而得出三角形面積函數
（3）本題也要分兩種情況解答：當MN在矩形區域滑動時以及當MN在三角形區域滑動時），利用二次函數的性質解答．
當MN在矩形區域滑動時，S=x，可直接由圖得出取值范圍
當MN在三角形區域滑動時，由二次函數性質可知，在對稱軸時取得最大值

解答：解：（1）由題意，當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN應位于DC下方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米．
∴S_△EMN=

1

2

×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面積為0.5平方米．（2分）

（2）①如圖1所示，當MN在矩形區域滑動，
即0＜x≤1時，
△EMN的面積S=

1

2

×2×x=x；（3分）
②如圖2所示，當MN在三角形區域滑動，即1＜x＜1+

3

時，
如圖，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，
∵E為AB中點，
∴F為CD中點，GF⊥CD，且FG=

3

．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴

MN

DC

=

GH

GF

，即MN=

2( 3 +1-x)

3

．（4分）
故△EMN的面積S=

1

2

×

2( 3 +1-x)

3

×x
=-

3

3

x2+(1+

3

3

)x；（5分）
綜合可得：S=

x，(0＜x≤1) - 3 3 x2+(1+ 3 3 )x．(1＜x＜1+ 3 )

（6分）

（3）①當MN在矩形區域滑動時，S=x，所以有0＜S≤1；（7分）
②當MN在三角形區域滑動時，S=-

3

3

x²+（1+

3

3

）x，
因而，當x=-

b

2a

=

1+ 3

2

（米）時，S得到最大值，
最大值S=

4ac-b2

4a

=

-(1+ 3 3 )2

4×(- 3 3 )

=

1

2

+

3

3

（平方米）．（9分）
∵

1

2

+

3

3

＞1，
∴S有最大值，最大值為

1

2

+

3

3

平方米．（10分）

點評：本題考查的是二次函數的相關知識．考生要學會利用圖形，數形結合解答函數問題．難度較大．