Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+bx+c+1，

①當b=1時，求這個二次函數的對稱軸的方程；

②若c=b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數的圖象與x軸相切？

③若二次函數的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，與y軸的正半軸交于點M，以AB為直徑的半圓恰好過點M，二次函數的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足，求二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】①.二次函數的對稱軸的方程為x=； ②.b為2+或2﹣時，二次函數的圖象與x軸相切；③. 二次函數的表達式為y=﹣x2+x+1．

【解析】

試題分析：①二次函數y=﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x=，即可得出答案；②二次函數y=﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（，），y由二次函數的圖象與x軸相切且c=b2﹣2b，得出方程組，求出b即可；③由圓周角定理得出∠AMB=90°，證出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OAOB，由二次函數的圖象與x軸的交點和根與系數關系得出OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，證明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出，，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1，由x1x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程組，解方程組求出b的值即可．

試題解析：①二次函數y=﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x=，當b=1時，=，

∴當b=1時，求這個二次函數的對稱軸的方程為x=．

②二次函數y=﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（，），

∵二次函數的圖象與x軸相切且c=b2﹣2b，

∴，解得：b=2+或b=2﹣，

∴b為2+或2﹣時，二次函數的圖象與x軸相切．

③∵AB是半圓的直徑，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°，

∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM，

∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2=OAOB，

∵二次函數的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），

∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1x2=﹣（c+1），∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，

解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，

∵二次函數的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足，

∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，

∴，∴DE=，DF=，∴×4，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1，

∵x1x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得：，∴b=﹣+2=，

∴二次函數的表達式為y=﹣x2+x+1．