Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，，是射線上一點，連接，沿將三角形折疊，得三角形．

（1）當時，=_______度；

（2）如圖，當時，求線段的長度；

（3）當點落在平行四邊形的邊上時，直接寫出線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）85或95或5；（2）；（3）或9

【解析】

（1）根據點P在線段AD上或AD的延長線上和點與AD的位置關系分類討論，分別畫出圖形，根據折疊的性質即可求出結論；

（2）根據平行四邊形的性質可推出，從而得出，作于，根據銳角三角函數和勾股定理求出AH和BH，利用銳角三角函數求出PH，即可求出結論；

（3）分點落在AD、BC、CD和AB上討論，分別畫出對應的圖形，根據折疊的性質、銳角三角函數和勾股定理即可分別求出結論．

解：（1）①當點P在線段AD上，且點在直線AD右側時，如下圖所示

由折疊的性質可得；

②當點P在線段AD上，且點在直線AD左側時，如下圖所示

由折疊的性質可得；

③當點P在線段AD的延長線上時，如下圖所示

由折疊的性質可得

綜上：=85°或95°或5°

故答案為：85或95或5；

（2）在中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

作于，如下圖，

∴，

∴設，，

∴，

∴，

∴，．

在中，，

∴，

∴．

（3）①當點在上時，如下圖，

∵，

∴，

∴，且，

∴，

設，，

∴，

∴，

∴；

②當在上時，如下圖

由折疊可知，，，，

又∵，

∴，

∴．

∴，

∴四邊形為菱形，

∴；

③當在CD上時，如下圖，過點D作DM⊥AB于M，過點B作BN⊥CD于N

∴DM=BN，

∵

設，，

∴，

解得：x=1

∴BN=DM=12

∵在CD上

∴≥BN=12＞BA

∴此種情況不存在；

④當在AB上時，如下圖，根據折疊的性質可得點與點A關于PB對稱，即點在AB的延長線上，不符合題意．

綜上：當點落在平行四邊形的邊上時，或9；