Question

閱讀材料：如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S_△ABC=

1

2

ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答下列問題：
如圖2，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點B為拋物線與y軸的交點，求直線AB的解析式；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的對稱軸分別交AB、x軸于點D、M，連接PA、PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（4）在（2）的條件下，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h、面積為S，請分別寫出h和S關于x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）由已知條件得出圖象頂點坐標，由頂點式求出
（2）利用待定系數法求出直線解析式，
（3）找出三角形的底與高，即可求出三角形的面積，
（4）用x表示出鉛垂高為h，即可解決．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3

（2）設直線AB的解析式為：y₂=kx+b
由y₁=-x²+2x+3求得B點的坐標為（0，3
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3

（3）因為C點坐標為（1，4）
所以當x=1時，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=

1

2

×3×2=3（平方單位）

（4）假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x
S=-

3

2

x2+

9

2

x ．

點評：此題主要考查了用頂點式求二次函數解析式，以及待定系數法求解析式和三角形面積求法，綜合性較強．