Question

【題目】如圖1，矩形OBCD的邊OD，OB分別在x軸和y軸上，且B (0，8)，D(10，0)．點E是DC邊上一點，將矩形OBCD沿過點O的射線OE折疊，使點D恰好落在BC邊上的點A處．

（1）若拋物線y＝ax2+bx經過點A，D，求此拋物線的解析式；

（2）若點M是（2）中拋物線對稱軸上的一點，是否存在點M，使△AME為等腰三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由；

（3）如圖2，動點P從點O出發沿x軸正方向以每秒1個單位的速度向終點D運動，動點Q從點D出發沿折線D﹣C﹣A以同樣的速度運動，兩點同時出發，當一點運動到終點時，另一點也隨之停止，過動點P作直線1⊥x軸，依次交射線OA，OE于點F，G，設運動時間為t（秒），△QFG的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍．（t的取值應保證△QFG的存在）

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，滿足要求的點M的坐標為，(5，5)，(5，2.5)，理由見解析；（3）

【解析】

（1）先利用矩形的性質及折疊的性質求出點A的坐標，然后用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）易求得拋物線的對稱軸x＝5，過點E作ET⊥AH，垂足為T，設點M的坐標為（m，n），運用勾股定理用含n的代數式表示出AM2、EM2，然后分三種情況進行討論：AM＝AE, EM＝EA, MA＝ME分別列出等式，求出n，就可求出點M的坐標；

（3）根據點Q的位置不同，分以下四種情況進行討論：①點Q在線段DC上；②點Q在AC上且在直線l的右邊；③點Q在AC上且在直線l上；④點Q在AC上且在直線l的左邊，分情況討論即可．

（1）解：∵四邊形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），

∴BC＝OD＝10，DC＝OB＝8，∠OBC＝∠C＝90°．

由折疊可得：OA＝OD＝10，AE＝DE．

∵∠OBC＝90°，OB＝8，OA＝10，

∴AB＝，

∴AC＝4．

設AE＝DE＝x，則CE＝8﹣x，

∵∠C＝90°，

∴x2＝42+（8﹣x）2，

解得：x＝5，

∴AE＝DE＝5，

∴點A的坐標為（6，8），點E的坐標為（10，5）．

∵拋物線y＝ax2+bx經過點A（6，8），D（10，0），

∴解得

此拋物線的解析式為；

（2）存在M，使△AME為等腰三角形．

設拋物線的對稱軸與BC交于點H，過點E作ET⊥AH，垂足為T，連接AM、ME，如圖1，

設點M的坐標為（m，n），則，

∴AH＝6﹣5＝1，HM＝8﹣n，ET＝10﹣5＝5，TM＝5﹣n

∵AH⊥HM，

∴AM2＝AH2+MH2＝1+（8﹣n）2

∵ET⊥MH

∴ME2＝ET2+MT2＝25+（5﹣n）2

①若AM＝AE，則AM2＝AE2，

∴1+（8﹣n）2＝25，

∴（8﹣n）2＝24，

解得：，

此時點M的坐標為或 ；

②若EM＝EA，則EM2＝EA2

∴25+（5﹣n）2＝25

∴（5﹣n）2＝0

∴n3＝5

此時點M的坐標為；

③若MA＝ME，則MA2＝ME2

∴1+（8﹣n）2＝25+（5﹣n）2

解得：n4＝2.5

此時點M的坐標為；

綜上所述：滿足要求的點M的坐標為，（5，5），（5，2.5）；

（3）設直線OA的解析式y＝k1x，

∵點A的坐標為（6，8），

∴6k1＝8，

∴，

∴直線OA的解析式為 ，

同理可得：直線OE的表達式為y＝，

∵OP＝1×t＝t

∴P（t，0）

∵直線l⊥x軸于點P，點F，G是直線l與OA，OE的交點

∴，

故，

①當0＜t＜8時，點Q在線段DC上，

過點Q作QS⊥直線l，垂足為S，

則QS＝PD＝10﹣t

∴

＝

＝；

②當8≤t＜9時，點Q在線段CA上，且在直線l的右側，

設FG交AC于點N，如圖3，

則QN＝CN﹣CQ＝PD﹣CQ＝（10-t）﹣（t﹣8）＝18﹣2t

∴

＝

＝；

③當t＝9時，QN＝18﹣2t＝0，點Q與點N重合，此時△QFG不存在，故舍去；

④當9＜t≤10時，點Q在線段CA上，且在直線l的左側，設FG交AC于點N，如圖4．

則QN＝CQ﹣CN＝CQ﹣PD＝（t-8）-(10-t)＝2t﹣18

∴

＝

＝;

綜上所述：．