Question

【題目】如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）若M為EF的中點，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6．

【解析】試題分析：（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，從而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）先判斷出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出EF即可．

試題解析：（1）∵D、G分別是AB、AC的中點，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分別是OB、OC的中點，∴EF∥BC，EF=BC，∴DE=EF，DG∥EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M為EF的中點，OM=3，∴EF=2OM=6．

由（1）有四邊形DEFG是平行四邊形，∴DG=EF=6．